Matematika : Sifat akar persamaan kuadrat

Sifat akar persamaan kuadrat

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka:

1. x₁ + x₂ = –b/a
2. x₁.x₂ = c/a
3. |x₁ – x₂| = –D/a(Ingat! D = b² – 4.a.c)

Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat

1. Jumlah kuadrat akar-akar:x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2.x₁.x₂
2. Jumlah pangkat tiga akar-akar:x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3.x₁.x₂.(x₁ + x₂)
3. Jumlah pangkat empat akar-akar:x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² – 2.x₁².x₂²
4. Jumlah kebalikan akar-akar:
5. Jumlah kuadrat kebalikan akar-akar:
6. Selisih kuadrat akar-akar:x₁² – x₂² = (x₁ + x₂).(x₁ – x₂) dimana x₁ > x₂

Hubungan Jenis Akar-akar PK dengan Nilai Diskriminan (D)

• Jika D > 0 maka PK mempunyai 2 akar real yang berlainan

→ D = bilangan kuadrat berarti akar-akarnya rasional
→ D bukan bilangan kuadrat berarti akar-akarnya irasional

• Jika D = 0 maka PK m,empunyai 1 akar real atau akar-akarnya kembar

• Jika D ≥ 0 maka PK mempunyai 2 akar real/nyata

• Jika D < 0 maka PK tidak mempuyai akar real / akar-akarnya imajiner

• Jika kedua akar positif (x₁ > 0, x₂ > 0)
  D ≥ 0
  x₁ + x₂ > 0
  x₁.x₂ > 0

• Jika kedua akar negatif (x₁ < 0 dan x₂ < 0)
  D ≥ 0
  x₁ + x₂ < 0
  x₁.x₂ > 0

• Jika kedua akar berlainan tanda (1 positif, 1 negatif)
  D > 0
  x₁.x₂ < 0

• Jika kedua akar bertanda sama (sama-sama positif/sama-sama negatif)
  D ≥ 0
  x₁.x₂ > 0

• Jika kedua akar saling berlawanan (x₁ = –x₂)
  D > 0
  b = 0 (diperoleh dari x₁ + x₂ = 0)
  x₁.x₂ < 0

• Jika kedua akar saling berkebalikan (x₁ = 1/x₂)
  D > 0
  c = a

Contoh 1:Tentukan nilai m agar x² + 4x + (m – 4) = 0 mempunyai 2 akar real
D ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
4² – 4.1.(m – 4) ≥ 0
16 – 4m + 16 ≥ 0
–4m ≥ –16 – 16
Semua dibagi –4
(Ingat! Jika dibagi atau dikali bilangan negatif tanda pertidaksamaan dibalik)m ≤ 4 + 4
m ≤ 8


Contoh 2:Tentukan nilai n agar akar-akar PK x² + (2n + 2)x + 5 – n = 0 bertanda sama
Syarat 1D ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
(2n + 2)² – 4.1.(5 – n) ≥ 0
4n² + 8n + 4 – 20 + 4n ≥ 0
4n² + 12n – 16 ≥ 0
Semua dibagi 4:
n² + 3n – 4 ³ 0
(n + 4).(n – 1) ³ 0
Pembuat nol: n = –4 atau n = 1
Syarat 2:x₁.x₂ > 0
Gambar garis bilangan:
Jadi: HP = {n | n ≤ –4 atau 1 ≤ n < 5}

Menyusun PK

PK dengan akar-akar x₁ dan x₂ adalah:
x² – (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0dengan kata lain:
x² – (jumlah akar-akar)x + (hasil kali akar-akar) = 0

Contoh 1:
Tentukan PK yang mempunyai akar-akar 2 dan –5:
x² – (2 + (–5))x + (2.(–5)) = 0
x² + 3x – 10 = 0

Contoh 2:
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar PK: x² – 3x – 1 = 0, susun PK baru yang akar-akarnya 3x₁ + 2 dan 3x₂ + 2!
Karena PK tersebut tidak dapat difaktorkan,
x₁ + x₂ = –b/a = –(– 3) /1 = 3
x₁.x₂ = c/a = –1/1 = –1
Misal akar-akar PK baru adalah y₁ dan y₂:
y₁ + y₂ = 3.x₁ + 2 + 3.x₂ + 2
= 3(x₁ + x₂) + 4 = 9 + 4 = 13
y₁.y₂ = (3x₁ + 2).(3x₂ + 2)
= 9.x₁.x₂ + 6.x₁ + 6.x₂ + 4
= 9.(–1) + 6.3 + 4 = –9 + 18 + 4 = 13
Jadi PK barunya:
x² – (y₁ + y₂)x + (y₁.y₂) = 0
x² – 13x + 13 = 0
 SoalTentukan nilai k agar persamaan² kuadrat berikut memiliki akar kembar
a. x²-2x+k=0
b. 2x²-4x+k=0
c. kx²-6x+1/2=0
d. 3x²-kx+5=0
e. 2kx²+3x+2=0

Jawab
suatu persamaan kuadrat akan memiliki akar kembar jika D = 0D = b² - 4ac


1.] x² - 2x + k = 0
D = 0
4 - 4 . 1 . k = 0
4 - 4k = 0
4k = 4
k = 1

2.] 2x² - 4x + k = 0
D = 0
16 - 4 . 2 . k = 0
16 - 8k = 0
8k = 16
k = 2

3.] kx² - 6x + 1/2 = 0
36 - 4 . k . 1/2 = 0
36 - 2k = 0
2k = 36
k = 18

4.] 3x² - kx + 5 = 0
D = 0
k² - 4 . 3 . 5 = 0
k² - 60 = 0
k = ± √60

5.] 2kx² + 3x + 2 = 0
D = 0
9 - 4 . 2k . 2 = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16